- Il est à maitriser la division euclidienne, l’utiliser en situation et être capable d’interpréter les différents termes.
- Avoir compris que le cas où r=0, permet d’exprimer un nombre sous la forme d’un produit: on parle alors de multiples et diviseurs.
- Avoir retenu les critères de divisibilité qui sont des éléments de technique de base du cycle 4.
- Division euclidienne
Clé: il faut mémoriser le motif \( a = b \times q + r \) avec r<0
Intérêt: C’est l’outil de partage des nombres entiers.
Méthode: La méthode par catégorisation (voir cours) permet d’identifier les informations que l’on a et celles qu’on cherche.
Un chocolatier doit emballer 455 chocolats dans des boites de 3 étages de 9 chocolats. Il veut faire le plus de possible de boites et le reste sera vendu en vrac au détail.
Combien de chocolats seront vendu en vrac au détail?
Intérêt
Situation avec des quantités.
Recherche du diviseur et interprétation du reste.
Méthode
On doit chercher le diviseur pour trouver le reste et le quotient.
Correction:
La difficulté est la construction du diviseur. Le nombre de chocolat par boite.
On cherche le nombre de boites de trois étages de 9 pots pour emballer les 455 chocolats.
Nombre de chocolats dans une boite: \( 3 \times 9= 27 \)
Nombre de boites nécessaires :
\( 455 = 27 \times 16 + 23 \)
Il faudra 16 boites et il restera 23 chocolats à vendre au détail.
Islem traverse le Népal en marchant. Il parcourt 17 km par jour. A la fin de son aventure il lui a manqué 16 km pour faire 900km.
Combien de jours a-t-il marché?
Intérêt
Situation sur la droite graduée, analogue à un motif qui se répète, 17km.
Méthode
On doit chercher le dividende pour obtenir le quotient qui nous intéresse.
Correction:
La difficulté est la compréhension du dividende. Il lui manque 16 km pour faire 900km, signifie qu’il a parcouru \( 900-16=884km \).
Une fois qu’on a le dividende on applique la division euclidienne: \(900 = 17 \times 52 \)
Il a marché pendant 52 jours.
On considère la division euclidienne de 135 par 13.
a) De combien peut on augmenter le dividende sans changer le quotient?
b) De combien peut-on diminuer le dividende sans changer le quotient?
Intérêt
Exercice technique pour maitriser la condition du reste.
Méthode
Ecrire la division euclidienne.
Correction:
Pour pouvoir répondre aux questions il faut écrire la division euclidienne et identifier les termes.
\( 135 = 13 \times 10 + 5 \)
a) Le reste doit être inférieur à 13, on peut donc l’augmenter de 7, le dividende est alors 142.
b) On peut diminuer le dividende jusqu’à ce que le reste soit nul, c’est à dire de 5. Le dividende est alors 130.
Un décorateur dessine une frise le long d’un plan de travail d’une cuisine. La longueur de la frise est de 123cm et chaque motif mesure 1cm de large. Quel est le dernier motif qu’il dessinera?
Intérêt
Situation avec répétition.
Méthode
On doit trouver le motif de répétition.
Correction:
La difficulté n’est pas tant sur le motif de répétition, on voit qu’il a 4 éléments, mais sur l’interprétation du reste.
\( 123 = 4 \times 30 + 3 \)
Le dernier motif dessiné est le troisième du motif, donc le triangle.
- Multiples et diviseurs
Clé: C’est le cas particulier de la division euclidienne où le reste est égal à 0. \( a = b \times q \)
Intérêt: Un nombre est écrit sous la forme d’un produit.
Méthode: on regarde l’objet mathématique : \( a = b \times q \)
Quelle que soit la question (multiple, diviseur, divisible) on regarde le même objet!
Ce qui revient à vérifier que \( \frac{a}{b} =q \), q entier.
Vocabulaire
a) \( 102 = 6 \times 17 \), donc 17 est …. de 102.
b) \( 128 \div 8 = 16 \), donc 128 est …. par 8.
c) \( 5 \times 13 = 65 \), donc 65 est …. de 5.
d) \( { 252 \over 36 } = 7 \), donc 7 et 36 sont des …. de 252.
Intérêt
On a besoin de ce vocabulaire en mathématiques pour décrire nos objets.
Méthode
on regarde l’objet mathématique : \( a = b \times q \)
- a en groupe sujet. a est multiple de b ou a est divisible par b
- b en groupe sujet. b est un diviseur de a.
Correction:
a) un diviseur. b) divisible c) un multiple d) diviseurs
Traduire en une égalité.
a) 153 est un multiple de 9.
b) 28 divise 308
c) 505 est divisible par 5
d) 7 est un diviseur de 105
Intérêt
C’est l’ojet même des maths de traduire en une expression numérique pour prédire une information.
Méthode
Le motif est \a =b \times q \) que l’on peut écrire \( \frac{a}{b} = q \)
Correction:
a) \( 153 = 9 \times 17 \ ou \ \frac{153}{9}=17 \)
a) \( 308 =28 \times 11 \ ou \ \frac{308}{28}=11 \)
a) \( 505 = 5 \times 101 \ ou \ \frac{505}{5}=101 \)
a) \( 105 = 7 \times 15 \ ou \ \frac{105}{7}=15 \)
Ticket gagnant
Keina a un ticket gagnant ! Il est à la fois multiple de 15 et 18. Quel est le ticket gagnant?
- 2070
- 1305
- 1410
- 1395
Intérêt
Cette situation permet d’observer que être multiple de 15 c’est l’être de 3 et 5.
Méthode
Décomposer un produit en produit pour déterminer les diviseurs.
Correction:
On pourrait traiter le problème rapidement en vérifiant les nombres multiples de 15 puis ceux parmi ceux là vérifier ceux qui sont multiples de 18.
Il est intéressant de comprendre la méthode suivante. On appelle n le ticket gagnant. On peut écrire:
\( n= 15 \times k \Rightarrow n= 5 \times 3 \times k \)
Pour que ce nombre soit divisible par 18 il faut que \( k=6 \times k’ \)
On a donc \( n = 5 \times 3 \times 6 \times k’ = 90 \times k’ \).
Il suffit donc de chercher les multiples de 90.
Le seul multiple de 90 est 2070.
Bouquet
Chiara a 54 tulipes et 72 roses.
Elle veut faire le plus de bouquets possibles mais il faut qu’ils soient tous identiques.
a) Peut elle faire 6 bouquets? 9 bouquets?
b) Quel est le plus grand nombre de bouquets qu’elle peut faire?
Intérêt
Ce sera la situation de partage essentielle de la troisième.
On observe que l’on a pas de diviseur donné! Il faut donc le trouver !
Méthode
Le diviseur est donné par la contrainte, on veut faire le plus de bouquets identiques possibles.
Correction:
La difficulté repose sur le fait que l’on a pas de diviseur. Les informations sont qu’il doit être le même pour les roses et les tulipes et le plus grand possible.
a) 54 et 78 sont divisible par 2 et par 3, donc divisible par 6.
On peut donc faire 6 bouquets de 9 tulipes et 12 roses.
54 et 78 sont divisibles par 9. On peut donc faire 9 bouquets de 6 tulipes et 8 roses.
b) On remarque que dans le bouquet précédent, 6 tulipes et 8 roses, on peut faire deux bouquets identiques, 3 roses et 4 tulipes.
On peut donc faire 18 bouquets de 3 tulipes et 4 roses.
- Critère de divisibilité
Clé : connaitre les critères par cœur.
Intérêt: ils permettent de gagner beaucoup de temps dans la pratique des maths au quotidien.
Les nombres ci-dessous sont ils divisibles par 2, par 3, par 5 ou par 9?
| 2 | 3 | 5 | 9 |
37245 |
|
|
|
|
5520 |
|
|
|
|
7631 |
|
|
|
|
11628 |
|
|
|
|
Intérêt
Méthode. Technique de base.
Il faut connaitre ces critères par cœur et savoir les utiliser rapidement. Cela fait parti de la technique de base que l’on retrouve dans de nombreuses situations : en proportionnalité pour trouver des coefficients ou des relations, en fraction pour simplifier…
Correction:
| 2 | 3 | 5 | 9 |
37245 | x | / | / | x |
5520 | / | / | / | x |
7631 | x | x | x | x |
11628 | / | / | x | / |
Voici une liste de nombres:
330; 103; 105; 138 ; 105 ; 140
a) Quels sont les nombres divisible par 5?
b) Quels sont les nombres multiples de 3 ?
c) Dois-je chercher les nombres multiples de 6 parmi ceux multiples de 3? Quels sont ils?
d) Comment trouver rapidement les multiples de 15?
e) Comment trouver rapidement les multiples de 30?
Intérêt
On commence à construire le nombre comme un produit de facteurs \( n=a \times b \times c … \)
n est alors multiple de a mais aussi de \( a \times b \) ….
Méthode
On construit le réflexe de voir le produit de rrière un nombre: 6, c’est 2 fois 3,
15 c’est 3 fois 5.
Correction:
a) 330 ; 105; 140
b) 330; 105 ; 138
c) Les multiples de 6 sont parmi les multiples de 3, 6 c’est 2 fois 3. Ce sont donc les nombres pairs du b). 138 et 330
d) Ce sont les nombres à la fois multiples de 5 et multiples de 3, car \( 3 \times 5 = 15 \). On a 330 et 105.
e) Ce sont les nombres à la fois multiples de 5 et 6, donc 330.