La leçon sera réussie si vous avez compris que l’étude des nombres entiers revient à celle de la division euclidienne et de ses cas particuliers.
Il faut avoir retenu:
*le motif de la division euclidienne
*multiples et diviseurs
*critère de divisibilité
Il faut être capable de:
* partager un nombre entier avec la division euclidienne
* trouver des multiples et diviseurs d’un nombre
* trouver tous les diviseurs d’un nombre
La grande question qui structure l’apprentissage des nombres entiers au collège est :
« Comment peut-on partager un nombre entier en des nombres entiers ? »
En effet les situations faisant intervenir les additions, les soustractions et multiplications ne posent pas de problèmes, les sommes, différences et produits seront entiers.
Mais qu’en est-il lorsqu’on partage ?
Le cœur du chapitre est l’outil de partage des nombres entiers : la division euclidienne et ses cas particuliers:
* si r=0, on parle de multiples et diviseurs
* si r=0 et q=1, on parle de nombres premiers ( ce sera le cas particulier étudié en 3ème).
Division euclidienne
Définition
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a (le dividende) par un nombre entier b (le diviseur) différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient q et le reste r tels que :
$$ a=q \times b + r \ avec \ r<b$$
Exemple
\( 185 = 26 \times 7 + 3 \ et \ 3 < 7 \). Le quotient est 26 et le reste 3.
Premier cas particulier de la division euclidienne: r=0.
Multiples et diviseurs d'un nombre
Définition
Un nombre entier a est un multiple d’un nombre entier b (b≠0) lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est 0.
On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b
Exemple
105 est un multiple de 1 car \( 105=7 \times 15 \);
15 est un diviseur de 105 car \( 105 \div 15 =7 \ et \ 7 \ est \ entier. \)
Il faut absolument les connaitre par coeur.
Critère de divisibilité
Propriétés
Un nombre entier est divisible par : | |
2 | Lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 |
3 | Lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 |
4 | Lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 |
5 | Lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5 |
9 | Lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9 |
10 | Lorsque son chiffre des unités est 0 |
Exemple
*2160 est divisible par 2, 5, 10. En effet le chiffre des unités est 0.
*2160 est divisible par 4. En effet, 60 est divisible par 4 (\(4 \times 15 \) )
*2160 est divisible par 3 et 9. En effet, \( 2+1+6+0=9 \) et 9 est divisible par 3 et 9.
La catégorisation permet de comprendre tous les situations différentes.
Division euclidienne: catégorisation des situations
Catégorisation
| $$ a=b \times q + r $$ | ||||
Cas où \( r \neq 0 \) $$ a=b \times q + r $$ | Cas où \( r=0 \) $$ a= b \times q $$ | |||
| Dividende ? | Quotient ou diviseur ? | Reste ? | a multiple de b ? $$ \frac{a}{b}=q$$ q est-il entier ou pas ? | b diviseur de a ? $$ \frac{a}{b}=q$$ q est-il entier ou pas ? |
On peut calculer la division euclidienne de a par b ou Connaissant trois nombres on peut trouver le quatrième | ||||
Exemple
* On veut faire des 84 boites de 18 chocolats et en garder 12 pour soi. On a le quotient 84, le diviseur 18, le reste 12. On cherche le dividende.
* On veut faire des boites de 6 chocolats avec 50 chocolats. On a le dividende et le diviseur, on cherche le quotient et le reste.
Multiples et diviseurs?
13 diviseur de 91 ? Cela revient à chercher si \( \frac{91}{13} \) est entier.
Remarquez que chercher si 91 est un multiple de 13 revient à la même chose, chercher si \( \frac{91}{13} \) est entier.