C’est un chapitre exigeant d’un point de vue technique.
Il vous faut maitriser les différents gestes techniques.
Au niveau de la compréhension, la difficulté majeure est celle qui concerne l’étude de deux entiers.
Pour cela on vous conseille de maitriser les deux situations classiques: celle de partage et celle des cycles.
- Utiliser la division euclidienne
C’est l’élément central des nombres entiers.
Maitriser la division euclidienne est maîtriser les relations entre le quotient et le reste.
Clé: le motif de la division euclidienne: \( a=b \times q + r \, \ avec \ r<b\)
Intérêt: Partager des entiers en entiers
Méthode: Catégorisation des problèmes (voir cours): Identifier les informations données en termes de diviseur, quotient, reste, dividende pour expliciter ce que l’on cherche.
Jules a 104 figurines qu’il veut vendre dans des sachets de 15 figurines.
a) Combien de sachets peut-il faire ?
b) Il trouve une autre figurine. Combien de sachets peut-il alors faire ?
c) 6 figurines sont trop abîmées et donc invendables. Combien de sachets peut-il alors faire?
Intérêt
Cet exercice vise à structurer la condition de la division euclidienne \( r < b \).
Méthode
La lecture de la situation doit vous fournir l’indice que vous voulez une réponse entière.
On est alors dans le partage d’entiers en entiers, on mobilise alors le motif de la division euclidienne:
\( a=b \times q + r \, \ avec \ r<b\)
On identifie les différents termes. On doit maintenir la condition.
Correction:
1.a) On donne un diviseur et un dividende, la division euclidienne permet de trouver le quotient et le reste. \(104= 6 \times 15 +14 \)
On peut faire 6 sachets et il reste 14 figurines.
Remarque : Le contrôle est sur le reste qui doit être inférieur au diviseur :
1.b) Question classique sur le reste: augmentation du dividende (on trouve une figure). On porte cette augmentation dans le reste et on étudie la possibilité d’augmenter le quotient. \(104= 6 \times 15 +15=7 \times 15 \)
On avait 14 figurines, avec celle que l’on trouve, cela fait 15, donc on peut faire un sachet de plus.
1.c) Question classique sur le reste: diminution du dividende, donc possible diminution du quotient. \(99= 6 \times 15 +9 \)
Un sachet est donc « cassé » et il reste alors des figurines. On a de nouveau 6 sachets.
Remarque pour aller plus loin (à propos de la catégorisation dans le cours).
En général, et c’est ce que nous verrons avec les rationnels (trouver une quatrième proportionnelle \( \frac{x}{2}=\frac{1}{5}) ou la proportionnalité \( x= a \times y \), on ne trouve une inconnue que si les autres éléments sont connus.
Observer que la division euclidienne permet de trouver deux éléments : quotient et reste. Cela est possible que parce qu’on a la condition sur le reste.
- Déterminer les diviseurs d’un nombre entier
Dans de nombreuses situations d’optimisation, où on cherche (par exemple dans la situation précédente) le plus grand nombre de sachets possible avec des conditions (plus grand que 7) ?
Clé: Identifier le cas où le reste de la division euclidienne est 0: \( a= b \times q \)
Trouver tous les diviseurs de 60.
Trouver les diviseurs de 48.
Intérêt
Obtenir tous les diviseurs d’un nombre.
Attention, c’est la méthode utilisée avant la maîtrise des nombres premiers.
Mais c’est une technique à maitriser.
Méthode
On divise le nombre par 2, puis par 3 et ainsi de suite.
On s’arrête quand on retrouve un diviseur.
Correction:
60 : \( 1 \times 60; 2 \times 30 ; 3 \times 20 ; 4 \times 15 ; 5 \times 12 ; 6 \times 10; 10 \times … \)
On s’arrête quand on retrouve un diviseur. Les diviseurs sont donc : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
48 : \( 1 \times 48; 2 \times 24 \newline 3 \times 16 ; 4 \times 12 ; 6 \times 8 ; 8 \times … \)
On s’arrête quand on retrouve un diviseur. Les diviseurs sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48
Remarque pour aller plus loin:
La méthode « classique » dit que l’on s’arrête quand on retrouve un diviseur. Observer l’explication de la méthode pour identifier un nombre premier et l’étape où on cherche la racine carrée…
Vous avez alors peut-être trouvé, on s’arrête quand on dépasse la racine carrée.
- Multiples et diviseurs
Les déterminations de multiples et diviseurs font parties des gestes techniques automatiques de la fin du collège. On ne peut guère aller plus loin en maths sans cette maitrise.
Les critères de divisibilité sont à savoir par coeur.
Clé:
Cas particulier où le reste est nul.
On peut écrire un nombre sous la forme d’un produit: \( a= b \times q \)
Intérêt:
On peut écrire un nombre sous la forme d’un produit: \( a= b \times q \)
Méthode:
a multiple de b ou b diviseur de a ou a divisible par b revient à vérifier que \( \frac{a}{b} \) est entier.
a) 15 est un diviseur de 105 ?
b) 225 est un multiple de 25 ?
c) 72 est divisible par 8 ?
d) 105 est divisible par 5 et 3 ?
e) 1048 est divisible par 4 ?
f) Simplifier \( \frac{108}{63} \)
Situation des engrenages:
a) Quand la petite roue fait 3 tours combien de tours fait la grande ?
b) La grande roue fait 10 tours, combien tours fera la petite?
Intérêt
On ne peut pas aller plus loin si on ne maitrise pas le vocabulaire:
multiple, diviseur, divisible; si on ne comprend pas que multiple? divisible? diviseur? interroge un même objet mathématique \( \frac{a}{b} \) entier?
Méthode
a multiple de b ou b diviseur de a, ou a divisible par b \( \rightarrow \frac{a}{b} \) entier?
Correction:
a), b) et c) visent à comprendre le vocabulaire.
Le premier exemple nous permet de bien se rendre compte de ce qu’est une technique: un geste qui permet d’obtenir quelque chose. Ce que l’on obtient il s’agit de l’interpréter. Cette interprétation conduit à une conclusion.
Geste technique: \( \frac{105}{15} =7 \); Interprétation du résultat: 7 entier; Conclusion: donc 15 est un diviseur de 105.
\( \frac{225}{25} =9 \); 9 entier; donc 225 est un multiple de 25.
\( \frac{72}{8} =9 \); 9 entier; donc 72 est divisible par 9.
d), e) et f) demandent à utiliser les critères de divisibilité
105: chiffre des unités est 5 donc divisible par 5; somme des chiffes égale à 6, donc divisible par 3.
1048: \(48= 4 \times 12 \), donc divisible par 4.
108 et 63 divisible par 9, donc \( \frac{108 \div 9}{63 \div 9}= \frac{12}{7} \)
Situation classique: les engrenages
Les situations d’engrenages reviennent à des recherches de multiples ou de diviseurs.
Pré-requis: lorsque une dent d’une roue tourne dans un sens, une roue de l’autre engrenage tourne dans l’autre sens.
a)Le nombre de dents qui ont avancé dans la petite roue ? \( 3 \times 12=36 \)
Est-ce que 36 est divisible par un nombre de tours complets de la grande ? \ 36 = 18 \times 2 \)
Donc la grande roue fait 2 tours.
b) \( 10 \times 18 = 180 \) et \( \frac{180}{12} = 15 \). Donc la petite roue fait 15 tours.
- Reconnaitre un nombre premier
Clé:
Cas particulier où le seul produit possible est \( a=a \times 1 \), r=0 et q=1
Intérêt:
Pour simplifier des fractions, pour résoudre des problèmes de partage, pour trouver tous les diviseurs d’un nombre… L’utilisation des nombres premiers permet de faire évoluer significativement les techniques sur les nombres entiers.
Méthode:
A connaitre absolument.
Procédure pour reconnaitre un nombre premier.
On cherche à diviser le nombre par la suite des nombres premiers jusqu’à la racine carrée du nombre (voir cours).
a) Jules a 219 figurines qu’il veut vendre en de petits sachets. Quel nombre de figure doit-il mettre dans chaque sachet pour pouvoir toutes les vendre ?
Et s’il en avait 217?
b) Les nombres 256, 11, 37, 4233 sont-ils premiers ?
Intérêt
La reconnaissance d’un nombre premier permet de conclure sur la possibilité ou non d’une partage d’un entier en entiers.
Méthode
Voir cours.
Correction:
219 : le critères de divisibilité par 3 indique que 219 est divisible par 3. 219 n’est donc pas premier
\( 219= 3 \times 73 \). Il peut faire 73 paquets de 3.
On peut se demander si il existe une autre solution. 73 n’est divisible ni par 2,3,4,5,7 donc il est premier. Il n’y a pas d’autre solution.
217: les critères par 2,3,4,5 ne marchent pas.
On cherche la racine de 217 pour savoir jusqu’à quel nombre on doit chercher: \( \sqrt{217} \simeq 14,7 \). On doit donc chercher jusqu’à 13.
\( 217 \div 7 \simeq 31,2 ; 217 \div 11 \simeq 19,9 ; 217 \div 13 \simeq 16,8 \);
217 est donc un nombre premier, on ne peut pas faire de sachets de plusieurs figurines.
Remarque.
On ne peut que conseiller d’apprendre les nombres premiers inférieurs à 50.
256: divisible par 2, donc pas premier
11: est premier à apprendre par coeur.
37: \(6 \times 6 = 36 \) on doit donc cherche jusqu’à 5. 37 n’est divisible ni par 2,3 et 5 (d’après les critères), il est donc premier.
4233: divisible par 3 (d’après critère) donc pas premier.
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
a) Décomposer 93 en produit de facteurs premiers.
b) Décomposer 34200 en produit de facteurs premiers.
Intérêt
C’est la porte d’entrée des problèmes de partage où on n’a ni la valeur de la part ni le nombre de part.
Méthode
Voir cours.
Correction:
a) \( 93 = 3 \times 31 \) et 31 est premier.
b) Attention. Pour des raisons de mise en page on présente le résultat de la façon suivante. Il est recommandé de choisir celle que vous préférez entre les deux méthodes du cours.
\( 34200= 2 \times 1710= 2^2 \ 8550= 2^3 \times 4275 = 2^3 \times 3 \newline 1425 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 95 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 19 \)
19 est premier donc \( 34200 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 19 \)
- Cas de deux nombres entiers
Clé:
Le motif de deux entiers (voir figure)
Intérêt:
Cela permet de simplifier des fractions et de résoudre les problèmes de partages sans ni valeur de la part ni nombre de parts, et les problèmes de cycle.
Méthode:
A connaitre absolument.
Mobiliser le motif des deux décompositions des nombres entiers:
* les nombres communs et leurs produits donnent les diviseurs communs
* le produit de tous les nombres donne le plus plus petit multiple commun
Fractions irréductibles
a) Rendre la fraction \( \frac{1040}{780} \) irréductible.
b) Rendre la fraction \( \frac{180}{190} \) irréductible.
c) Rendre la fraction \( \frac{75}{105} \) irréductible.
Situations classiques
a) On veut réaliser avec 102 billes rouges et 78 billes bleues le plus de paquets identiques. Combien peut-on en faire et quelle sera la composition de chaque paquet ?
b) Inès reçoit une lettre tous les 18 jours et sa sœur Mya tous les 21 jours. Aujourd’hui elles en reçoivent une chacune. Dans combien de jours recevront-elles à nouveau une lettre le même jour ?
Intérêt
Un nombre rationnel est représenté par une fraction et a donc une infinité d’écriture possible tant que le numérateur et le dénominateur sont divisés ou multipliés par le même nombre.
Le plus simple est donc d’utiliser la fraction la plus simple, que l’on dit irréductible car non simplifiable.
Méthode
On décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers puis on simplifie par le plus grand diviseur commun.
Intérêt
Il y a deux grands types de situation faisant intervenir deux entiers:
* Les situations de partages: on cherche le nombre de paquet à faire et la composition du paquet.
* les situations de cycle : ce sont des motifs qui se répètent (ici 18 jours), les autres exemples classiques sont les tours de circuit où le motif qui se répète est le temps au tour, les période des phares où ce qui se répète est le temps que met la lumière pour faire un tour.
Méthode
Si on comprend bien la différence entre les deux situations alors on voit que la situation de partage amène à la recherche du plus grand diviseur commun et celle de cycle au plus petit multiple commun.
Correction:
La situation a) décrit un partage dont on cherche le nombre de paquets et la valeur de chaque paquet (voir cours).
Pour avoir le nombre de paquet il faut trouver un diviseur commun.
\( 102 = 2 \times 3 \times 17 \) et \( 78 = 2 \times 3 \times 13 \)
On va pouvoir faire 6 paquets (plus grand diviseur commun, on conseille de faire le schéma de la méthode). Donc il y aura 17 billes rouges et 13 bleues dans chaque paquet.
La situation b) décrit deux grandeurs qui suivent des cycles. On cherche à connaitre un multiple commun (voir cours).
Soit j le nombre de jours où elles en recevront une ensemble :
\( 18 = 2 \times 3^2 \) et \( 21 = 3 \times 7 \)
Le plus petit multiple commun j est alors : \( j= 2 \times 3^2 \times 7 = 126 \)
Elles recevront une lettre le même jour dans 126 jours.