Introduction
La difficulté de ce chapitre est qu’il est riche de gestes techniques qu’il faut maitriser.
La compréhension ne pose pas de problèmes à priori.
La question qui structure le chapitre est « Comment partager des nombres entiers lorsqu’on veut des solutions entières? »
L’outil de partage des nombres entiers est la division euclidienne, dont le motif est:
$$ a =b \times q + r, \ avec \ r<b$$
Remarque: Cette activité est particulière car elle présente les deux points les plus difficiles du chapitre. L’objectif est de saisir la difficulté de ces situations, de comprendre le chemin pour y arriver.
Tout le chapitre visera ensuite à développer des techniques pour rendre ces situations faciles.
" Les récompenses
Asari et Kumiko sont bénévoles dans l’organisation d’un trail (course à pieds).
Ils doivent faire des pochettes de récompense contenant toutes exactement les mêmes quantités de barres nutritives et gel de course.
Ils ont 1155 barres et 420 gels.
Combien de pochettes peuvent -ils faire au maximum en utilisant tout ce qu’ils ont?
Correction
On reconnait une situation de partage.
Mais, on a ni le nombre de paquets que l’on veut faire ni la composition des paquets que l’on veut faire.
Rappel. Situations de partages
- Recherche du nombre de parts: on regroupe dans une part des éléments. Combien de boites de 6 chocolats avec 42.
- Recherche de la valeur de la part: on distribue 15 bonbons à 5 élèves.
La difficulté de ce problème est que l’on a aucune des deux informations, seulement la contrainte de faire des parts identiques et le plus possible.
Objectif
On doit pouvoir faire un nombre de parts identiques avec les barres et les gels.
La traduction mathématique de cela est de chercher quels sont les diviseurs de ces deux nombres et on espère en trouver un de commun.
On trouve que les deux nombres sont divisibles par 5:
\( 1155 = 231 \times 5 \)
\( 420 = 78 \times 5 \)
On peut faire 5 pochettes de 231 barres et 78 gels.
Mais 231 et 78 sont divisibles par 3.
\( 1155 = 77 \times 15 \)
\( 420 = 28 \times 15 \)
On peut faire 15 pochettes de 77 barres et 28 gels.
Mais 77 et 28 sont divisibles par 7.
\( 1155 = 11 \times 105 \)
\( 420 = 4 \times 105 \)
On peut faire 105 pochettes de 11 barres et 4 gels.
Bilan
On vient de réussir un partage équitable de deux nombres entiers alors que nous n’avions ni le nombre de parts ni les valeurs des parts.
" La course
Asari et Kumiko jouent à un jeu vidéo de course de voitures où le nombre de tours est illimité.
Ils partent bien sûr en même temps et Asari tourne en moyenne en 1320s (temps fictif du jeu) et Kumiko en 1170s.
Ils décident d’arrêter le jeu lorsqu’ils se croiseront sur la ligne de départ.
Combien de temps vont-ils jouer? Combien aura fait de tours chaque joueur?
Correction:
C’est un type de situation où l’on peut facilement se retrouver bloqué et on est rapidement les bras croisés, sans idée.
L’un de premiers conseils est d’avoir une lecture efficace. En effet les maths traduisent le réel, il faut donc bien saisir la situation.
Méthode de lecture en maths:
1) De quoi ça parle? (Vrai pour tous les langages! En français ca vous donne le groupe sujet. En maths, cette question nous donne les grandeurs en jeu).
2) Ce qu’on cherche? (On ne peut pas réussir, si on ne sait pas ce qu’on cherche).
3) Les informations ? (Ce sont ces éléments qui vont nous permettre de traduire la situation en langage mathématique).
La lecture de la situation indique l’on parle de tours de circuit et de temps. On cherche le temps t au bout duquel les deux personnages se croisent à nouveau sur la ligne de départ.
Si on est toujours bloqué, il ne faut jamais hésiter à faire un schéma. En simulant les personnages qui tournent autour du circuit, on comprend que le temps t que l’on cherche est un multiple du temps que l’on met à faire un tour. \( t= \ nombre \ de \ tours \times \ 1170 \ ou \ 1320 \)
Remarque: La difficulté de cette situation est que l’on n’a ni le temps qu’a duré la partie, ni les nombres de tours des deux joueurs.
Cette absence d’informations rappelle la situation précédente, mais on n’est pas dans une situation de partage.
Traduisons alors mathématiquement la seule information que l’on a, Asari et Kumiko vont effectuer un nombre de tours entiers. Donc t:
\( t = 1320 \times a ) avec a le nombre tours faits par Asari.
\( t= 1170 \times k ) avec k le nombre de tours faits par Kumiko.
On a un solution alors évidente si a=1170 et k= 1320,
\( t = 1320 \times 1170 \)
t=1 544 400s, et ils se croiserons en effet sur la ligne de départ. Asari aura fait 1170 tours et Kumiko 1320.
Ce problème revient à chercher le plus petit multiple commun aux deux nombres.
On peut penser qu’ils se croiseront avant sur la ligne de départ:
1320 et 1170 sont des multiples de 10. On peut écrire:
\( t’ = 132 \times 10 \times 117 \). t est bien multiple de 1320 et 1170.
Attention: à la difficulté d’interpréter l’écriture mathématique. Asari fait 117 tours, Kumiko en fait 132. Le temps est désormais t’= 154440s. Il font 10 fois moins de tours.
1320 et 1170 sont des multiples de 3. On peut écrire
\( t = 44 \times 3 \times 10 \times 39 \). t est bien multiple de 1320 et 1170.
Interprétation: Asari fait 39 tours, Kumiko en fait 44. Ils font 3 fois moins de tours.
\( t= 51 480s. \). Ils vont faire 39 et 44 tours.
Bilan:
On vient de découvrir deux situations, une de partage, et une de cycle, qui se résolvent en cherchant des multiples ou diviseurs communs.
Ceci permet de s’affranchir du peu d’informations que l’on a (partage: ni nombre de part, ni valeur de la part; multiple: ni dividende, ni quotient).
L’objet du chapitre est d’optimiser les techniques de recherche de multiples et diviseurs pour rendre ces situations plus faciles.